Conjecture de Syracuse
de Lothar Collatz
Vérification : il n’existe aucun nombre qui ne puisse atteindre 1.
Tous les deuxièmes prédécesseurs de la suite rétrograde sont des successeurs 12p+8 de divers nombres.
Aucun nombre ne peut atteindre 1 sans passer par l’un de ces 12p+8.
Ce sont des 12p+8 de 1er rang.
Quel nombre a pour successeur R1 ? 24p+16 dont les prédécesseurs sont 8p+5 et 4(12p+8)
R2 = 4(12p+8) ; c'est un 12p+8 de 2ème rang
Ainsi de suite pour R3, R4 etc.
Aucun nombre ne peut échouer quel que soit le 12p+8 de 1er rang pris au départ.
Illustration avec 296, 12p+8 de 1er rang :
.......4ème rang.........3ème rang........2ème rang........1er rang........suite finale
.........12629
.........37888
.......** 18944 **..........3157
..........9472..............9472
..........4736............** 4736 **..............789
..........2368..............2368.................2368
..........1184..............1184..............** 1184 **...............197
...........592................592..................592..................592
...........296................296..................296................** 296 **...........49
...........148................148..................148..................148..............148
............74.................74....................74....................74...............74
............37.................37....................37....................37...............37
Il en résulte que les séquences sont ordonnées : chaque suivante commence par un 8p+5 plus petit.
Les enchainements ne peuvent aller au delà de 1 en négatif grâce à la boucle 1 4 2 1.
Pour calculer un successeur "S" (8p+5) de rang "m" à partir de N = 12p+8 de rang 1 :
S = ((N * 4^m) -2) /6 ; illustration ci-dessus : ((296*4^4)-2)/6 = 12629
Tous les débuts de séquences sont 8p+5 et chaque 12p+8 est égal à 4 fois le précédent.
Chaque séquence suivante commençant par un nombre plus petit, la conjecture est prouvée dans ce cas particulier.
Mais ne serait-elle pas prouvée aussi dans le cas général ?
En effet, on a vu dans le menu "séquences" que tout 2p+1 est défini par rapport à son successeur 8p+5.
Une question se pose alors : existe t-il un nombre qui n'aurait pas de successeur 8p+5 ?
Réponse : la formule S = ((N * 4^m) -2) /6 permet de vérifier que tous les 8p+5 sont enchainés, chacun étant lié à 2p+1.
Conclusion : lorsqu'on applique la formule Syracuse sur un nombre, les séquences 2p+1/12p+8 qui se succèdent font toutes partie de ces enchainements ordonnés, mais se succèdent dans un ordre différent, commandé par chaque 12p+8.