Conjecture de Syracuse
de Lothar Collatz
Lorsqu’on applique la formule sur un nombre de la forme 2p+1, on trouve toujours parmi les successeurs, à une distance plus ou moins grande, un nombre de la forme 12p+8 suivi de 6p+4 et 3p+2.
6p+4 a un deuxième prédécesseur 2p+1 qui à son tour atteindra 12p+8.
L’individualité de ces séquences est confirmée par leurs caractéristiques.
Depuis N = 2p+1 jusqu’au 3p+2 suivant 12p+8, le nombre de divisions (d) détermine la suite à laquelle appartient N, c’est-à-dire la suite dont tous les éléments auront le même nombre de successeurs jusqu’à 3p+2 et exactement le même ordre de multiplications/divisions.
Le premier terme de la suite (t1) est égal à 2^d et le deuxième terme, à N – t1 tant que N > t1.
Par exemple, pour 867, 4 divisions jusqu’à 488, soit t1 = 16 ; 867 est élément de 16k+3. (2ème prédécesseur de 488 = 325, nouvelle séquence 325/122, etc.)
Autre exemple : 871 ; 21 divisions jusqu’à 17906, soit t1 = 2^21 = 2097152 ; 871 est élément de 2097152k+871. (2ème prédécesseur de 17906 : 11937, nouvelle séquence 11937/4250, etc.)
Les nombres ayant le même comportement « Syracuse » que 871 sont espacés de 2097152 nombres à partir de 871.
Plus l’espacement entre 2p+1 et 12p+8 est grand, plus l’espacement entre 2 nombres ayant exactement le même comportement « Syracuse » est grand.
Cas particulier d’enchainements 2p+1/12p+8/3p+2 : Lorsque N est prédécesseur d’une puissance de 2, les 2p+1 successifs
sont (N – 1) / 4 : pour N = 349525 par exemple, 87381 ; 21845 ; 5461 ; 1365 ; 341 ; 85 ; 21 ; 5.